Sokan számolnak naponta mátrixokkal, de nem sokan ismerik mi is történik a mátrix rejtett fekete dobozában. Pedig könnyen megérthető, ha olyan mondja el, aki érti.

Legyen három koordináta-tengely, xv(1,0,0) yv(0,1,0) zv(0,0,1). Legyen egy pontunk a térben P(11,5,3). Bontsuk fel komponenseire, de ne csak úgy, kézzel, hanem felhasználva azt a megismert tulajdonságát a vektorok skalár szorzatának, hogy egy síktóli távolságot adnak meg, ha az egyik vektor egy sík normálja.

Felvesszük az origóból induló irányvektort, ami most ugyan az, mint a P.

w=P-O(0,0,0)=P

és komponenseire bontjuk.

P'.x=dot(xv,w)

P'.y=dot(yv,w)

P'.z=dot(zv,w)

Ez nem más, mint w vektor szorzása egy 3x3-as mátrixxal, amit 3 vektor alkot, az xv(1,0,0) yv(0,1,0) és a  zv(0,0,1).

A szorzás így néz ki.

P'.x=xv.x*w.x + xv.y*w.y + xv.z*w.z

P'.y=yv.x*w.x + yv.y*w.y + yv.z*w.z

P'.z=zv.x*w.x + zv.y*w.y + zv.z*w.z

Ez már egy teljes koordináta transzformáció.

Az elején a kivonást is beleolvaszthatjuk a mátrixba, ez volt a  P-O(0,0,0).

Ekkor a negyedik vektor az origó lesz. Az egész sokkal szebb, ha kiegészítjük 4x4-essé.

xv.x, xv.y ,xv.z , 0

yv.x, yv.y ,yv.z , 0

zv.x, zv.y ,zv.z , 0

O.x, O.y ,O.z , 1

Most transzformáljuk vissza a kapott P' vektort az eredeti állapotába. Ez úgy történik, hogy az origóból elindulunk xv irányba, és megteszünk P'.x távolságot. Nem nehéz kitalálni, miért. P'.x egy síktóli távolság, ennek a síknak  a normálja vx volt.

Ezután ugyan ezt tesszük yv és P'.y-al, majd zv és P'.z-vel. Egyenletekkel így néz ki ez az egész:

P=vx*P'.x + vy*P'.y + vz*P'.z

és kibontva:

P.x=xv.x*P'.x + yv.x*P'.y + zv.x*P'.z

P.y=xv.y*P'.x + yv.y*P'.y + zv.y*P'.z

P.z=xv.z*P'.x + yv.z*P'.y + zv.z*P'.z

xv.x, yv.x ,zv.x , 0

xv.y, yv.y ,zv.y , 0

xv.z, yv.z ,zv.z , 0

Mi a változás az előző mátrixhoz képest? A főáltóra türközve van a mátrix.

Ez az előző mátrix transzponáltja. A transzponált mátrixnak ez az értelme, fordított a hatása.

Első ránézésre nem nagy valami az egész, hiszen ugyan ez kézzel is elvégezhető. Igenám, de most forgassuk el az xv,yv,zv koordináta-rendszert. Meglepetésre most is jól működik az egész, annak ellenére, hogy mostmár kézzel szinte lehetetlen komponenseire bontani a vektort.